ما هي الأعداد الصحيحة – 2025

ما هي الأعداد الصحيحة؟ في الرياضيات ما هي المجموعات والخصائص والعمليات الحسابية التي تتم عليها؟ وهي من الأمور المهمة التي يحتاجها الطالب ليس فقط في الرياضيات بل في المعادلات الفيزيائية والكيميائية والعلمية، حتى في معظم مجالات الحياة وجوانبها. نحن بحاجة إليها كالعادة. موقع مرجعي وسوف يجيب على جميع أسئلتك حول هذا الموضوع والمواضيع الأخرى التي تهمك.

ما هي الأعداد الصحيحة؟

الأعداد الصحيحة هي أصغر مجموعة من الأعداد الطبيعية، وهي أرقام لا توجد على شكل جزء عشري أو كسري. تتضمن الأعداد الصحيحة ضمن مجموعتها أرقامًا سالبة وموجبة، بما في ذلك الأعداد الصحيحة الصفرية لتمييزها عن الأعداد الصحيحة الجبرية الأكثر شيوعًا، في الواقع الأعداد الصحيحة (المنطقية) هي أعداد صحيحة جبرية وهي أيضًا أرقام نسبية. أمثلة على الأعداد الصحيحة هي: -5، 0، 1، 5، 8، 97 و3043.(1)

أنظر أيضا: يمكن كتابة العدد 625 بالصيغ الأسية التالية

مجموعة من الأعداد الصحيحة

تتضمن مجموعة الأعداد الصحيحة التي يمثلها Z ما يلي:(1)

• الأعداد الصحيحة الموجبة: يكون العدد الصحيح موجبًا إذا كان أكبر من الصفر، على سبيل المثال: 1، 2، 3، إلخ.
• الأعداد الصحيحة السالبة: تكون الأعداد الصحيحة سالبة إذا كانت أقل من الصفر، على سبيل المثال: -1، -2، -3، إلخ.
• عدد صحيح محايد: الصفر ليس عددًا صحيحًا سالبًا ولا موجبًا، بل هو عدد صحيح محايد.
  مثال: Z = {… -7، -6، -5، -4، -3، -2، -1، 0، 1، 2، 3، …} وغيرها من الأعداد الموجبة والسالبة وغيرها كلها أعداد صحيحة أرقام .

خصائص الأعداد الصحيحة

هناك خمس خصائص رئيسية للأعداد الصحيحة. وفيما يلي شرح تفصيلي لكل ميزة:(2)

وظيفة الإغلاق

• تنص خاصية الإغلاق تحت الجمع والطرح على أن مجموع أو الفرق بين عددين صحيحين سيكون دائمًا عددًا صحيحًا، أي إذا كان x وy عددين صحيحين، فإن x + y وx – y سيكونان عددًا صحيحًا أيضًا، مثال 1: 3 4 = 3 + (−4) = −1, (5) + 8 = 3 النتائج هي أعداد صحيحة.
• تنص خاصية الإغلاق تحت الضرب على أن منتج أي عددين صحيحين سيكون عددًا صحيحًا، أي إذا كان x وy عبارة عن عددين صحيحين، فإن xy سيكون أيضًا عددًا صحيحًا. مثال 2: 6 × 9 = 54؛ (5) × (3) = 15، هذه أعداد صحيحة.
• قسمة الأعداد الصحيحة لا تتبع خاصية الإغلاق، أي أن حاصل قسمة عددين صحيحين x وy قد يكون أو لا يكون عددًا صحيحًا. مثال 3: (−3) ÷ (−6) = ½ ليس عددًا صحيحًا.

تبادل الممتلكات

• تنص الخاصية التبادلية في الجمع والضرب على أن ترتيب الحدود لا يهم، وأن النتيجة ستكون نفسها. وسواء كان الأمر إضافة أو ضربًا، فإن تبادل الحدود لن يغير المجموع أو المنتج y لأي عددين صحيحين، إذن: ⇒ س + ص = ص + س، ⇒ س ص ص = س س س، مثال 4: 4 + (−6) = −2 = (−6) + 4, 10 x (−3) = 30 = (3) x 10.
• لكن الطرح (x y ≠ y x) والقسمة (x ÷ y ≠ y ÷ x) ليسا مقلوبين للأعداد الصحيحة والأعداد الصحيحة، مثال 5: 4 – (6) = 10؛ (−6) 4 = 10 ⇒ 4 (−6) ≠ (6) 4, مثال: 10 ÷ 2 = 5؛ 2 ÷ 10 = ⅕ ⇒ 10 ÷ 2 2 10

ملكية القوس

• الخاصية الترابطية للجمع والضرب تعني أن طريقة تجميع الأرقام غير مهمة وأن النتيجة ستكون نفسها. يمكنك تجميع الأرقام بأي طريقة، لكن الإجابة تظل كما هي: لنفترض أن x وy وz هي أي ثلاثة أرقام. صحيح ⇒ x + (y + z) = (x + y) + z. ⇒ xx (yxz) = (xxy) xz، مثال 6: 1 + (2 + (-3)) = 0 = (1 + 2) + (−3)؛ 1 × (2 × (−3)) = 6 = (1 × 2) × (−3).
• طرح الأعداد الصحيحة ليس ترابطيًا بطبيعته، أي x (y z) ≠ (x y) z، مثال 7: 1 (2 (−3)) = −4; (1-2) (−3) = 2, 1 (2 (−3)) ≠ (1-2) (−3)

خاصية التوزيع

يشرح التوزيع إمكانية توزيع العمليات على عملية حسابية أخرى داخل المقطع. يمكن أن تكون خاصية توزيع الضرب على الجمع أو خاصية توزيع الضرب على الطرح. هنا يتم جمع الأعداد الصحيحة أو طرحها أولاً ثم يتم ضرب أو ضرب كل رقم بين الأقواس أولاً ثم إضافته أو طرحه. يمكن تمثيل ذلك على النحو التالي لجميع الأعداد الصحيحة x وy وz:

• ⇒ xx (y + z) = xxy + xxz
• ⇒ س س (ص – ض) = س ص ص – س س س ض

مثال 8: −5 (2 + 1) = 15 = (−5 × 2) + (−5 × 1)

خاصية الهوية

• تنص خاصية الهوية الجمعية على أنه عند إضافة عدد صحيح إلى الصفر، فإنه ينتج نفس العدد. يُطلق على الصفر الهوية المضافة لأي عدد صحيح x,x + 0 = x = 0 + x
• تقول خاصية الهوية المتعددة للأعداد الصحيحة أنه عندما يتم ضرب رقم في 1، يتم إعطاء العدد الصحيح نفسه كمنتج، لذلك يسمى 1 الهوية المتعددة للرقم. لكل عدد صحيح x، xx 1 = x = 1 xx
• إذا ضرب عدد صحيح في 0، تكون النتيجة صفر: xx 0 = 0 = 0 xx
• إذا تم ضرب عدد صحيح في -1، يكون الناتج هو مقلوب الرقم: x × (−1) = −x = (−1) × x.

أنظر أيضا: ما الرقم الذي يمكن وضعه في الفراغ لتكون الجملة صحيحة؟

العمليات على الأعداد الصحيحة

ترتبط العمليات الحسابية الأربع الأساسية في الأعداد الصحيحة وهذه العمليات هي:(3)

إضافة الأعداد الصحيحة

يتم وضع الرقم صفر في وسط خط الأعداد. إذا امتدنا إلى يمين الصفر، فلدينا أعداد موجبة وأعداد سالبة على يسار الصفر. عندما نجمع أعدادًا صحيحة موجبة وأعدادًا صحيحة سالبة، فإننا نتخيل أننا نتحرك على طول خط الأعداد. جمع وطرح الأعداد الصحيحة على خط الأعداد، والجمع. عند طرح الأعداد الصحيحة على خط الأعداد، إليك قواعد جمع الأعداد الصحيحة:

• عندما نضيف رقمين متطابقين لكل علامة، نضع العلامة ثم نضيف: على سبيل المثال: إذا طُلب منا جمع الرقمين 4 و3، فسنبدأ بالانتقال إلى الرقم 4 على خط الأعداد والتحرك أربع وحدات بالضبط إلى يمين الصفر، لأننا نضع سبع وحدات على يمين الصفر. نقول أن مجموع 3 و 4 يساوي 7، (+3) + (+4)= +4، أو (-3) (-4)= (-7). ).

• عندما نجمع رقمين مختلفين بإشارة، نضع إشارة الأكبر عند الطرح: ) بافتراض أنه طُلب منا جمع الرقمين 8 و -2، فسنبدأ بتحريك ثماني وحدات إلى يمين الصفر ومن هناك نتحرك وحدتين إلى اليسار، لأننا نعلم أن الأعداد السالبة تنقلنا إلى يسار حرك صفر. على خط الأعداد، بما أن الموضع الأخير لدينا هو ست وحدات على يمين الصفر، يمكننا القول أن مجموع 8 و -2 يساوي 6، (-2) + (+8) = +6، (+2) (-8) = -6.

طرح الأعداد الصحيحة

لتحويل مسائل الطرح إلى مسائل جمع، يتم اتباع خطوتين رئيسيتين عند طرح رقمين:

• تغيير علامة الطرح في السؤال المحدد إلى علامة زائد: (+4) (+3) = (+4) + (-3).
• إنه يعكس إشارة الرقم التالي استهدف علامة الزائد الموضوعة حديثًا: (+4) (+3) = (+4) + (-3).

ووفقاً لهذه الخطوات، علينا تغيير علامة الطرح إلى علامة زائد في كل سؤال. علينا أن نأخذ معكوس 3، وهو -3، وبالتالي تصبح المشكلة الآن:

• (+4) + (-3) إذا استخدمنا الآن قواعد الجمع، فسنحصل على +1 كإجابة.
• =(+4) (+3)
• =(+4) + (-3)
• =+1

فيما يلي بعض الأمثلة الأخرى لفهم أفضل:

• مثال 1) -2 7 = -2 + (-7) = -9
• مثال 2) 6 – (-2) = 6 + 2 = 8
• مثال 3) -7 – (-2) = -7 + 2 = -5

ضرب الأعداد الصحيحة

القاعدة الأولى التي يجب أن تعرفها عند ضرب عددين صحيحين هي أننا نقوم بعملية الضرب دون إضافة إشارة، ثم بعد ضرب العددين ستشكل سطرين:

• تكون إشارة المحصلة موجبة إذا كان العددان لهما نفس الإشارة: (+4) × (+3)= +12، (-4) × (-3)= +12.
• تكون إشارة المحصلة سالبة إذا كان العددان لهما نفس الإشارة: (-4) × (+3)= -12، (+4) × (-3)= -12.

تقسيم الأعداد الصحيحة

القاعدة الأولى التي يجب أن تعرفها عند قسمة عددين صحيحين هي أن نقوم بالقسمة بدون إشارة، ثم بعد قسمة الرقمين ستشكل خطين:

• تكون إشارة المحصلة موجبة إذا كان العددان لهما نفس الإشارة: (+12) ÷ (+3)= +4، (-12) ÷ (-3)= +4.
• تكون إشارة المحصلة سالبة إذا كان العددان لهما نفس الإشارة: (-12) ÷ (+3)= -4، (+12) ÷ (-3)= -4.

وبهذا الكم من المعلومات نكون قد وصلنا إلى نهاية هذا المقال بعنوان ما هي الأعداد الصحيحة؟ والتي قدمنا ​​بها معلومات عن مجموعات الأعداد الصحيحة وخصائصها الخمسة، وفي نهاية المقال قدمنا ​​لكم العمليات على الأعداد الصحيحة مع الأمثلة لإثراء أفكار قرائنا الأعزاء.